La matematica delle coincidenze

 

Da INTERNAZIONALE del  10 Gennaio 2025 -  di Sarah Hart, New Scientist, Regno Unito

I casi fortuiti possono sembrarci straordinari, ma pochi calcoli sono sufficienti a capire che spesso hanno una probabilità di succedere molto più alta di quello che pensiamo.

Di recente mi è successa una cosa strana in un bar.

Dopo aver digitato il pin per pagare il caffè ho chiesto di poter usare il bagno e il barista mi ha dato un foglietto su cui c’era un numero identico a quello del mio pin. Era il codice per aprire la porta del bagno.

Era la prova di un misterioso complotto della lobby del caffè? No, era una semplice coincidenza che mi ha fatto riflettere sul fenomeno.

Di tanto in tanto ci troviamo in situazioni che sembrano così improbabili da convincerci che l’universo ci sta mandando un segnale. Essendo una ma tematica, però, so che le coincidenze capi tano più spesso di quanto si pensi, il che può avere importanti conseguenze in ogni ambito, dal laboratorio scientifico ai biglietti della lotteria fino ai tribunali.

La mia esperienza al bar è un ottimo esempio, perché possiamo calcolare con esattezza quale fosse la probabilità che succedesse per caso. Esistono diecimila combinazioni possibili di numeri a quattro cifre, quindi una probabilità su dieci mila che il codice della porta del bagno fosse uguale al mio pin. Improbabile, certo, ma guardiamo il quadro complessivo. Il bar si trova a York, nel Regno Unito, una meta turistica visitata da 8,9 milioni di persone all’anno. Se ogni turista ha il bancomat, in un anno circa 890 pin saranno uguali al codice di quel bagno.

La mia coincidenza chiarisce un elemento importante: in presenza di un numero sufficiente di occasioni è probabile che si verifichino perfino eventi assai improbabili. 

In termini matematici possiamo esprimerlo così: date k possibilità che un evento si verifichi, in ognuna delle quali c’è una probabilità su n che succeda davvero, la probabilità che accada almeno una volta è pari a 1 – (1 – 1/n)k.

Non lasciatevi scoraggiare dalla formula: il succo è che la probabilità di una coincidenza cresce rapidamente con l’aumento del numero di occasioni. 

Da questa formula possiamo ricavare quanto segue: la probabilità che un evento “uno su n” capiti almeno una volta supera il 50 per cento ogni volta che ci sono più di 0,7n opportunità indipendenti che accada. Io la chiamo la regola dello 0,7.

Per esempio, ipotizziamo che ogni abitante di Birmingham abbia ogni notte una possibilità su un milione di sognare le notizie del giorno dopo. Dato che la popolazione della città è di 700mila persone, è probabile che ogni mattina qualcuno si convinca di essere un veggente.

Supponiamo di avere una probabilità all’ora di assistere a una coincidenza bizzarra, e un’aspettativa di vita media di 706mila ore: è più che probabile imbattersi almeno una volta in una coincidenza su un milione.

Questi calcoli possono spiegare alcune delle coincidenze più sconvolgenti della storia, come lo strano caso della lotteria nazionale bulgara: nel settembre del 2009 gli stessi numeri – 4, 15, 23, 24, 35 e 42 – sono usciti per due volte consecutive. Vi sembrerà un imbroglio, ma lo stati stico David Hand ha calcolato che ci vogliono solo 43 anni perché la probabilità che gli stessi numeri escano almeno due volte superi il 50 per cento (e nel 2009 la lotteria esisteva da 52 anni).

Tutti i biglietti della lotteria hanno la stessa probabilità di vincere, ma le persone non sono biglietti della lotteria e la probabilità di vivere un evento raro può variare da un individuo all’altro. 

Tra il 1942 e il 1977 Roy Sullivan, un guardaparco della Virginia, è stato colpito da un fulmine sette volte. Una bella sfortuna, certo, ma ave va più probabilità di tanti altri. Nelle zone calde e umide degli Stati Uniti i fulmini sono più frequenti, e chi lavora all’aperto è più esposto. Quest’ultimo fattore spiega in parte perché l’84 per cento delle vittime di fulmini è di sesso maschile.

Di tanto in tanto le probabilità possono sembrarci più straordinarie del dovuto. 

La famosa previsione della “veggente” Jeane Dixon, in base a cui John F. Kennedy avrebbe vinto le elezioni presidenziali del 1960 e sarebbe morto mentre era ancora in carica, sembra incredibilmente profetica, se non fosse che Dixon aveva previsto anche la vittoria di Nixon nel 1960 e l’inizio della terza guerra mondiale nel 1958.

Come disse il fisico Niels Bohr, fare previsioni è difficilissimo, specie se riguardano il futuro.

Ovviamente a volte c’è davvero qual cosa di più. 

Se Edward Jenner avesse ignorato il curioso fatto che le mungitrici erano immuni al vaiolo, forse non avrebbe mai capito che essere stati infettati dal vaiolo bovino offriva una certa protezione contro la malattia, una scoperta che portò allo sviluppo dei primi vaccini efficaci.

La distinzione tra coincidenza e causalità è vitale per il metodo scientifico, e può anche servire a smontare le accuse di plagio. 

Nel 2022, per esempio, il singolo di Ed Sheeran Shape of you è stato oggetto di una controversia legale perché una sequenza di quattro note era identica a quella di un brano di Sami Chokri del 2015, Oh why? “Le coincidenze sono inevitabili”, ha detto Sheeran ai fan dopo aver vinto la causa. “Ogni anno escono 22 milioni di pezzi, e le note sono solo 12”.

Ha ragione: con una gamma di 12 note le possibili combinazioni di quattro note sono solo 20.736. È matematicamente certo che su 22 milioni di canzoni molte contengano parti incredibilmente simili.

Durante le feste vi sarà capitato di par lare con qualcuno e cercare interessi comuni che, per fortuna, quasi sempre esistono. È stato calcolato che ciascuno di noi conosce mille persone (tra conoscenti, colleghi e vicini che, per comodità, chiamerò amici). Se queste relazioni hanno una distribuzione casuale, c’è più del 99 per cento di probabilità che io e voi abbiamo un amico in comune o che un vostro amico conosca uno dei miei.

In realtà le reti di relazioni non sono casuali: per esempio è più probabile conoscere una persona della propria città che una di un’altra, ma questo stranamente non incide granché. I matematici Steven Strogatz e Duncan Watts hanno scoperto che bastano alcune persone con tantissime relazioni perché la distribuzione di una rete di relazioni si avvicini a quella di una casuale. Significa che, anche se in media ognuno ha solo cento amici, due persone qualsiasi nel mondo sono probabilmente collegate da una catena di meno di cinque amici comuni.

È proprio vero che il mondo è piccolo.

Grazie alle leggi della matematica le coincidenze abbondano. Spesso gli eventi che sembrano voluti dal destino sono poco più che una questione di numeri.